Оценка статистическая. Точечная оценка и ее свойства Статистической оценкой параметра называют

Изучив эту главу, студент будет знать, что выборка может рассматриваться как эмпирический аналог генеральной совокупности, что с помощью выборочных данных можно судить о свойствах генеральной совокупности и оценивать ее характеристики, основные законы распределения статистических оценок, уметь производить точечные и интервальные оценки параметров генеральной совокупности методом моментов и максимального правдоподобия, владеть способами определения точности и надежности полученных оценок.

Виды статистических оценок

О параметрах генеральной совокупности мы знаем то, что они объективно существуют, но определить их непосредственно невозможно в силу того, что генеральная совокупность или бесконечна или чрезмерно велика. Поэтому может стоять вопрос только об оценке этих характеристик.

Ранее было установлено, что для выборки, извлеченной из генеральной совокупности, при соблюдении условий репрезентативности, можно определить характеристики, которые являются аналогами характеристик генеральной совокупности.

cjp Определение 8.1. Приближенные значения параметров распределения, найденные по выборке, называются оценкой параметра.

Обозначим оцениваемый параметр случайной величины (генеральной совокупности) как 0, а его оценку, полученную с помощью выборки, 0.

Оценка 0 является случайной величиной, поскольку любая выборка является случайной. Оценки, полученные для разных выборок, будут отличаться друг от друга. Поэтому будем считать 0 функцией, зависящей от выборки: 0 = 0(Х в).

ЩР Определение 8.2. Статистическая оценка называется состоятельной, если она стремиться по вероятности к оцениваемому параметру:

Это равенство означает, что событие 0=0 становится достоверным при неограниченном возрастании объема выборки.

В качестве примера можно привести относительную частоту некоторого события А, которая является состоятельной оценкой вероятности этого события в соответствии с теоремой Пуассона (см. формулу (6.1), часть 1).

Определение 8.3. Статистическая оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию при одних и тех же объемах выборки.

Рассмотрим оценку М х математического ожидания М х случайной величины X. В качестве такой оценки выберем X . Найдем математическое ожидание случайной величины X .

Сначала сделаем важное утверждение: учитывая то, что все случайные величины X, извлекаются из одной и той же генеральной совокупности X, а значит, имеют одно и то же распределение что и X, можно записать:

Теперь найдем М(Х в):

Таким образом, выборочная средняя является статистической оценкой математического ожидания случайной величины. Эта оценка является состоятельной поскольку в соответствии со следствием из теоремы Чебышева она сходится по вероятности к математическому ожиданию (6.3).

Мы установили, что в рассматриваемом случае математическое ожидание выбранной нами оценки (случайной величины) равно самому оцениваемому параметру. Оценки, обладающие таким свойством, занимают особое место в математической статистике, они называются несмещенными.

Определение 8.4. Статистическая оценка © называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру

Если это требование не выполнено, то оценка называется смещенной.

Таким образом, выборочная средняя является несмещенной оценкой математического ожидания.

Проведем анализ смещенности выборочной дисперсии D , если ее выбрать в качестве оценки генеральной дисперсии D x . Для этого проверим выполнимость условия (8.2) для?) :

Преобразуем каждое из двух полученных слагаемых:

Здесь было использовано равенство М(Х.) = М(Х 2), справедливое по той же причине, что и (8.1).

Рассмотрим второе слагаемое. С помощью формулы квадрата суммы п слагаемых получаем

учитывая снова равенство (8.1), а также то, что X. и X независимые случайные величины запишем

и окончательно получим:

Подставим полученные результаты в (8.3)

После преобразования получим

Таким образом, можно сделать вывод, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии.

Учитывая полученный результат, поставим задачу построить такую оценку генеральной дисперсии, которая удовлетворяла бы условию несмещенности (8.2). Для этого рассмотрим случайную величину

Легко видеть, что для этой величины условие (8.2) выполняется:

Заметим, что различие между выборочной дисперсией и исправленной выборочной дисперсией становятся незначительными при больших объемах выборки.

При выборе оценок характеристик случайных величин важно знать их точность. В некоторых случаях требуется высокая точность, а иногда достаточно иметь грубую оценку. Например, планируя перелет с пересадкой нам важно знать как можно точнее планируемое время прилета к месту стыковки авиарейсов. В другой ситуации, например, находясь дома и ожидая курьера с заказанным нами товаром, высокая точность времени его прибытия для нас не важна. В обоих случаях случайной величиной является время прибытия, а интересующей нас характеристикой случайной величины - среднее время в пути.

Оценки бывают двух видов. В первом случае ставится задача получить конкретное числовое значение параметра. В другом случае определяется интервал, в который с заданной вероятностью попадает интересующий нас параметр.

по самоподготовке к практическому занятию по математике

Тема : Статистическое распределение выборки, дискретные и интервальные вариационные ряды. Точечные и интервальные оценки параметров распределения. Погрешности измерений и их оценки.

Актуальность темы : ознакомление с основными понятиями и методами математической статистики как средством решения задач физического, химического, биологического и иного характера, встречающихся как в процессе изучения профильных дисциплин, так и в дальнейшей профессиональной деятельности

Цель занятия : научиться строить статистические ряды для дискретных и непрерывных случайных величин и вычислять точечные оценки генеральных параметров, вычислять погрешности при прямых и косвенных измерениях.

План изучения темы

1. Основные задачи математической статистики.

2. Генеральная и выборочная совокупности.

3. Дискретный вариационный ряд и его графическое изображение.

4. Интервальный вариационный ряд и его графическое изображение. Виды статистических оценок.

5. Требования к статистическим оценкам.

6. Понятия генеральной и выборочной средних.

7. Понятия генеральной, выборочной и исправленной дисперсий.

8. Понятия генерального, выборочного и исправленного среднего квадратического отклонения.

Основная литература:

1. Морозов, Ю.В. Основы высшей математики и статистики: учеб. для студентов мед. и фаpмацевт. вузов и фак./Ю.В. Морозов.-

М.:Медицина, 2004.-232 с.

2. Основы высшей математики и математической статистики: учеб. для студентов мед. и фармацевт. вузов/И.В. Павлушков, Л.В.Розовский, А.Е.Капульцевич и др.-2-е изд., испр.-М.:ГОЭТАР-

Медиа, 2006.-423 с.

Дополнительная литература:

∙ Методические рекомендации к практическим занятиям по высшей математике [Электронный ресурс]: учеб.-метод. пособие для вузов/ авт.-сост. : Т.А.Новичкова; ГОУ ВПО "Курск. гос. мед. ун-т", каф. физики, информатики и математики.-Курск:КГМУ, 2009.

∙ Гмурман В.Е. Теория и математическая статистика. М. «Высшая школа», изд. 5, 2004.

Вопросы для самоконтроля:

1) Определение статистического ряда.

2) Определение генеральной совокупности.

3) Определение выборочной совокупности.

4) Репрезентативность выборки.

5) Виды выборок.

6) Что называется вариантой?

7) Определение ранжирования.

8) Определение частоты, относительной частоты, накопленной частоты.

9) Алгоритм построения интервального вариационного ряда.

10) Определение полигона, кумуляты (дискретного вариационного ряда).

11) Определение гистограммы, кумуляты (интервального вариационного ряда) определение статистической оценки.

12) какие требования предъявляются к статистическим оценкам.

13) Какая статистическая оценка называется смещенной, несмещенной?

14) формулы для расчета генеральной и выборочной средней для сгруппированных и несгруппированных данных.

15) формулы для расчета генеральной и выборочной дисперсии для сгруппированных и несгруппированных данных.

16) Какой оценкой считается выборочная средняя для генеральной средней?

17) Какой оценкой считается выборочная дисперсия для генеральной?

18) Формула для расчета исправленного среднего квадратического отклонения.

19) Какие измерения называются прямыми?

20) Что понимают под истинной абсолютной погрешностью величины X?

21) Что принимают за истинное значение величины X?

22) Что служит точечной оценкой истинного значения величины X?

23) Что служит оценкой дисперсии X?

25) Как найти границы доверительного интервала для истинного значения величины X ?

26) Какие измерения называются косвенными?

27) Если y = f(x1, x2, ..., xn), то по какой формуле вычисляется средняя квадратическая погрешность среднего значения y?

28) По какой формуле находится абсолютная погрешность y: у ?

29) Как найти относительную погрешность y: ε у ?

Задания на самоподготовку:

1. В результате отдельных испытаний активности тетрациклина были получены следующие значения (в единицах действия на 1 мг): 925, 940, 760, 905, 995, 965, 940, 925, 940, 905. составить ряда распределения. Построить полигон, кумуляту.

2. Построить гистограмму относительных частот по распределению выборки: 11, 15, 16, 18, 15.5, 19, 20.1, 20.9, 23, 24.5, 23, 21, 23.9, 24.6, 25.5, 26, 29, 28.6, 30.1, 32.

3. Найти исправленное среднее квадратическое отклонение по данному распределению выборки

Ориентировочные основы действий:

1. Изучить основные понятия по теме

2. Ответить на вопросы для самоконтроля

3. Проработать примеры решения задач по теме

4. Выполнить задания для самостоятельного контроля

5. Решить контрольные задания по теме

После изучения данной темы студент должен знать: понятие вариационного ряда, его виды и их графическое изображение,

понятия статистической оценки, их виды, требования к оценкам, понятия генеральной и выборочной средней, генеральной и выборочной дисперсий. уметь: строить статистические ряды для дискретных и непрерывных случайных величин и вычислять точечные оценки генеральных параметров, вычислять погрешности при прямых и косвенных измерениях.

Краткая теория

Математическая статистика – это раздел прикладной математики, посвящённый методам сбора, группировки и анализа статистических сведений, полученных в результате наблюдений или экспериментов.

Отсюда следуют задачи математической статистики:

способы отбора статистических данных.

способы группировки статистических данных.

методы анализа данных:

∙ оценка параметров известного распределения;

∙ оценка неизвестной функции распределения;

∙ оценка зависимости одной случайной величины от других;

∙ проверка статистических гипотез.

способы определения числа наблюдений (планирование эксперимента).

принятие решений.

В математической статистике изучение случайной величины связано

с выполнением ряда независимых опытов, в которых она принимает определенные значения.

Статистическая совокупность – множество объектов, однородных относительно некоторого качественного или количественного признака.

Н-р, если имеется серия таблеток лекарственного вещества, то качественным признаком может служить стандартность таблетки, а количественным – контролируемая масса таблетки.

Генеральная совокупность – совокупность, состоящая из всех объектов, которые могут быть к ней отнесены.

Теоретически это м.б. бесконечно большая или приближающаяся к бесконечности совокупность.

Н-р, все больные ревматизмом на земном шаре – генеральная совокупность. Реально это в конкретных пределах (город, область).

Число объектов генеральной совокупности называют её объемом и обозначают N.

Выборочная совокупность – множество объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Число объектов в выборке называют её объемом и обозначают n.

Для того, чтобы свойства выборки достаточно хорошо отражали свойства генеральной совокупности выборка должна быть репрезентативной (представительной) .

Это требование обеспечивает случайность отбора элементов в выборку, т.е. равновероятность попасть в выборку любому объекту.

В зависимости от техники отбора объектов из генеральной совокупности выборки делятся на:

На практике пользуются бесповторной выборкой.

При больших объемах N генеральной совокупности и малом относительном объеме n/N выборки различия в формулах, описывающих обе выборки по технике их отбора невелики.

Дискретный ряд распределения

Наблюдаемые значения признака называются вариантами. Ранжирование – расположение вариант по возрастанию, либо

убыванию.

Вариационным рядом называется ранжированный ряд вариантов и соответствующих им частот.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n. Количественное значение изучаемого признака x1 появилось m1 раз, x2 – m 2

раз, …, x k – m k раз.

Причем ∑ m i = n

i =1

Числа mi называют частотами, а их отношения к объему выборки n – относительными частотами pi =mi /n. Причем Σpi =1.

Для случая когда количественный признак является дискретным, его значения и соответствующие им частоты или относительные частоты представляют виде таблицы.

При изучении вариационных рядов наряду с понятием частоты используется накопленная частота (mi * ). Накопленная частота показывает, сколько наблюдалось вариантов со значением признака меньше х.

Отношение наколенной частоты mi * к общему числу наблюдений n называется относительной частотой pi * = mi * /n.

Графическое изображение дискретного статистического ряда – полигон частот (относительных).

Полигон служит для изображения дискретного вариационного ряда и представляет собой ломаную, в которой концы отрезков прямой имеют координаты (xi , mi ) или (xi , pi ) в случае полигона относительных частот.

Интервальный статистический ряд.

В случае большого количества вариант (n>50) и непрерывного распределения признака статистическое распределение признака можно задать виде последовательности интервалов и соответствующих им частот.

Чаще используют равноинтервальный ряд.

Нужно правильно выбрать ширину классового интервала. Число интервалов должно зависеть от размаха выборки и её объёма.

Алгоритм построения гистограммы.

1. Дана выборка Х = {x 1 , x 2 , …, x n } ; n – её объём

Размах выборки D = x max – x min

2. Число классов

К = 1 + 3,32 × lg n (формула Стерджесса для n < 100 )

К = 5 × lg n (формула Брукса для n > 100 )

3. Величина классового интервала D x = D / К

4. Границы и середины частичных интервалов

x1л = xmin – D x / 2

x1пр = x2л = xmin + D x / 2

х 1 = x min

х 2 = х 1 + D x

5. Частоты попадания в интервал:

вариационных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака xi =xi+1 -xi , i=1,2,…,k и высотами, равными частотам (относительным частотам) mi (pi ) интервалов.

Если соединить середины верхних оснований прямоугольников отрезками прямой, то можно получить полигон того же распределения.

Эмпирическая функции распределения Чтобы получить представление о распределении случайной

величины Х, для которой неизвестен закон распределения, строят эмпирическую функцию распределения.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F* (x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X

, где m* - число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака Х меньше х.

Функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией.

Различие между эмпирической и теоретической функциями в том, что теоретическая функция определяет вероятность события Х<х, а эмпирическая – относительную частоту данного события.

Понятие статистической оценки.

Требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, нам известен закон распределения генеральной совокупности. Этот закон определяется несколькими параметрами. Для оценки неизвестных параметров генеральной совокупности используются данные выборки.

Статистической оценкой неизвестного параметра распределения генеральной совокупности называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Обозначим:

θ – неизвестный параметр; θ * – статистическая оценка неизвестного параметра; θ * = f (x 1, x 2, …, x n)

Статистическая оценка θ* является случайной величиной , поэтому имеет дисперсию и среднеквадратическое отклонение, а также ошибку репрезентативности (отклонение выборочного показателя от генерального).

Статистические оценки бывают двух видов: точечные и интервальные .

Оценка одним числом, зависящим от выборочных данных, называется точечной .

Оценка двумя числами, являющимися концами интервала, называется интервальной .

Требования, предъявляемые к точечным статистическим оценкам.

дисперсия выборочной средней:

Точность, надежность оценки

Интервальной оценкой называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.

Интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность точечной оценки.

Пусть q * – точечная оценка неизвестного параметра q , являющаяся случайной величиной.

Чем меньше ½q - q * ½ , тем точнее q * определяет параметр q .

Если δ > 0 и ½q - q * ½ < δ , то чем меньше δ , тем точнее оценка. Число

δ называется точностью оценки .

В силу случайности q * можно лишь говорить о вероятности осуществления неравенства ½q - q * ½ < e .

Надёжностью (доверительной вероятностью) оценки q * называют вероятность g , с которой осуществляется неравенство ½q - q * ½ < δ .

Обычно g = 0,95; 0,99; 0,999… P(|Θ-Θ*|< δ)=γ

Иногда говорят, что доверительная вероятность g характеризует степень нашей уверенности в том, что доверительный интервал покроет параметр q .

Р {q * - e < q < q * + e} = g означает, что вероятность того, что интервал (q * - e ; q * + e ) заключает в себе неизвестный параметр q , равна g :

Вероятность того, что неизвестный параметр не попадёт в интервал ½q - q * ½ < e , равна 1 - g = a (уровень значимости).

Уровнем значимости (риском) называют вероятность того, что модуль отклонения эмпирической характеристики от теоретической превысит предельную ошибку P(|Θ-Θ*|< ∆)=γ , предельная ошибка – максимально допустимая |Θ-Θ*|< ∆

Распределение Стьюдента

Пусть X ~ N(µ,σ), причем параметры распределения неизвестны.

Рассмотрим распределение величины T = x в − μ .

Распределение величины Т с f=n-1 степенями свободы называется t- распределением или распределением Стьюдента.

Функция плотности вероятности φ(t) зависит от числа степеней свободы и не зависит от дисперсии случайных величин.

С ростом числа степеней свободы распределение данной величины приближается к нормальному

Интервальной оценкой математического ожидания при неизвестной дисперсии является интервал

(x - tγ (f ) × Sx ; x + tγ (f ) × Sx )

Интервальной оценкой математического ожидания при известной

дисперсии является интервал

(x - uα × Sx ; x + uα × Sx )

Ф (u α ) = 1− α - функция Лапласа.

Примеры решения задач

1) Представить в виде статистического дискретного ряда, построить полигон частот, относительных частот, кумулятивную кривую (кривую накопленных частот): 6,7; 6,8; 7; 6,5; 7,3; 7; 7,2; 6,9; 7,1; 6,8; 7,1; 6,8; 7,1; 7,2; 6,8; 6,9;

7; 6,7; 6,6; 6,3; 7,5; 6,9.

Решение. mi – частота, p – относительная частота, pi * - накопленная относительная частота

План лекции:

Понятие оценки

Свойства статистических оценок

Методы нахождения точечных оценок

Интервальное оценивание параметров

Доверительный интервал для математического ожидании при известной дисперсии нормально распределённой генеральной совокупности.

Распределение хи-квадрат и распределение Стьюдента.

Доверительный интервал для математического ожидании случайные величины, имеющей нормальное распределение при неизвестной дисперсии.

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения нормального распределения.

Список литературы:

Вентцель, Е.С. Теория вероятностей [Текст] / Е.С. Вентцель. – М.: Высшая школа, 2006. – 575 с.

Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 2007. - 480 с.

Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / Н.Ш. Кремер - М: ЮНИТИ, 2002. – 543 с.

П.1. Понятие оценки

Такие распределения, как биномиальное, показательное, нормальное, являются семействами распределений, зависящими от одного или нескольких параметров. Например, показательное распределение с плотностью вероятностей , зависит от одного параметра λ, нормальное распределение
- от двух параметровm и σ. Из условий исследуемой задачи, как правило, ясно, о каком семействе распределений идёт речь. Однако остаются неизвестными конкретные значения параметров этого распределения, входящие в выражения интересующих нас характеристик распределения. Поэтому необходимо знать хотя бы приближённое значение этих величин.

Пусть закон распределения генеральной совокупности определён с точностью до значений входящих в его распределение параметров
, часть из которых может быть известна. Одной из задач математической статистики является нахождение оценок неизвестных параметров по выборке наблюдений
из генеральной совокупности. Оценка неизвестных параметров заключается в построении функции
от случайной выборки, такой, что значение этой функции приближённо равно оцениваемому неизвестному параметруθ . Функция называетсястатистикой параметра θ .

Статистической оценкой (в дальнейшем просто оценкой ) параметраθ теоретического распределения называется его приближённое значение, зависящего от данных выбора.

Оценка является случайной величиной, т.к. является функцией независимых случайных величин
; если произвести другую выборку, то функция примет, вообще говоря, другое значение.

Существует два вида оценок – точечные и интервальные.

Точечной называется оценка, определяемая одним числом. При малом числе наблюдений эти оценки могут приводить к грубым ошибкам. Чтобы избежать их, используют интервальные оценки.

Интервальной называется оценка, которая определяется двумя числами – концами интервала, в котором с заданной вероятностью заключена оцениваемая величина θ .

П. 2 Свойства статистических оценок

Величину
называютточностью оценки . Чем меньше
, тем лучше, точнее определён неизвестный параметр.

К оценке любого параметра предъявляется ряд требований, которым она должна удовлетворять, чтобы быть «близкой» к истинному значению параметра, т.е. быть в каком-то смысле «доброкачественной» оценкой. Качество оценки определяют, проверяя, обладает ли она свойствами несмещённости, эффективности и состоятельности.

Оценка параметраθ называется несмещённой (без систематических ошибок), если математическое ожидание оценки совпадает с истинным значением θ :

. (1)

Если равенство (1) не имеет места, то оценка называетсясмещённой (с систематическими ошибками). Это смещение может быть связано с ошибками измерения, счёта или неслучайным характером выборки. Систематические ошибки приводят к завышению или занижению оценки.

Для некоторых задач математической статистики может существовать несколько несмещённых оценок. Обычно предпочтение отдают той, которая обладает наименьшим рассеянием (дисперсией).

Оценка называетсяэффективной , если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещённых оценок параметра θ .

Пусть D () – минимальная дисперсия, а
– дисперсия любой другой несмещённой оценкипараметраθ . Тогда эффективность оценки равна

. (2)

Ясно, что
. Чем ближе
к 1, тем эффективнее оценка. Если
при
, то оценка называетсяасимптотически эффективной .

Замечание : Если оценка смещённая, то малости её дисперсии ещё не говорит о малости её погрешности. Взяв, например, в качестве оценки параметраθ некоторое число , получим оценку даже с нулевой дисперсией. Однако в этом случае ошибка (погрешность)
может быть сколь угодно большой.

Оценка называетсясостоятельной , если с увеличением объема выборки (
) оценка сходится по вероятности к точному значению параметраθ , т.е. если для любого

. (3)

Состоятельность оценки параметраθ означает, что с ростом n объема выборки качество оценки улучшается.

Теорема 1. Выборочная средняя является несмещённой и состоятельной оценкой математического ожидания.

Теорема 2. Исправленная выборочная дисперсия является несмещённой и состоятельной оценкой дисперсии.

Теорема 3. Эмпирическая функция распределения выборки является несмещённой и состоятельной оценкой функции распределения случайной величины.

статистическая оценка распределение выборка

Оценка - это приближение значений искомой величины, полученное на основании результатов выборочного наблюдения. Оценки являются случайными величинами. Они обеспечивают возможность формирования обоснованного суждения о неизвестных параметрах генеральной совокупности. Примером оценки генеральной средней является выборочная средняя генеральной дисперсии - выборочная дисперсия и т.д.

Для того чтобы оценить насколько «хорошо» оценка отвечает соответствующей генеральной характеристике разработаны 4 критерия: состоятельность, несмещенность, эффективность и достаточность. Этот подход основывается на том, что качество оценки определяется не по ее отдельным значениям, а по характеристикам ее распределения как случайной величины.

Основываясь на положениях теории вероятностей, можно доказать, что из таких выборочных характеристик, как средняя арифметическая, мода и медиана, только средняя арифметическая представляет собой состоятельную, несмещенную, эффективную и достаточную оценку генеральной средней. Этим и обуславливается предпочтение, отдаваемое средней арифметической в ряду остальных выборочных характеристик.

Несмещенность оценки проявляется в том, что ее математическое ожидание при любом объеме выборки равно значению оцениваемого параметра в генеральной совокупности. Если это требование не выполняется, то оценка является смещенной .

Условие несмещенности оценки направлено на устранение систематических ошибок оценивания.

При решении задач оценивания применяют также асимптотически несмещенные оценки , для которых при увеличении объема выборки математическое ожидание стремится к оцениваемому параметру генеральной совокупности.

Состоятельность статистических оценок проявляется в том, что с увеличением объема выборки оценка все больше и больше приближается к истинному значению оцениваемого параметра или, как говорят, оценка сходится по вероятности к искомому параметру, или стремится к своему математическому ожиданию. Лишь состоятельные оценки имеют практическую значимость.

Это такая оценка несмещенного параметра, которая обладает наименьшей дисперсией при данном объеме выборки. На практике дисперсия оценки обычно отождествляется с ошибкой оценки.

В качестве меры эффективности оценки принимают отношение минимально возможной дисперсии к дисперсии другой оценки.

Оценка, обеспечивающая полноту использования всей содержащейся в выборке информации о неизвестной характеристике генеральной совокупности, называется достаточной (исчерпывающей).

Соблюдение рассмотренных выше свойств статистических оценок дает возможность считать выборочные характеристики для оценки параметров генеральной совокупности лучшими из возможных.

Важнейшая задача математической статистики состоит в том, чтобы по выборочным данным получить наиболее рациональные, «правдивые» статистические оценки искомых параметров генеральной совокупности. Различают два вида статистических выводов: статистическая оценка; проверка статистических гипотез.

Основная задача получения статистических оценок заключается в выборе и обосновании наилучших оценок, обеспечивающих возможность содержательной оценки неизвестных параметров генеральной совокупности.

Задача оценки неизвестных параметров может быть решена двумя способами:

• 1. неизвестный параметр характеризуется одним числом (точкой) - используется метод точечной оценки;
• 2. интервальная оценка, то есть определяется интервал, в котором с некоторой вероятностью может находиться искомый параметр.

Точечная оценка неизвестного параметра заключается в том, что конкретное числовое значение выборочной оценки принимается за наилучшее приближение к истинному параметру генеральной совокупности, то есть неизвестный параметр генеральной совокупности оценивается одним числом (точкой), определенным по выборке. При таком подходе всегда существует риск совершить ошибку, поэтому точечная оценка должна дополняться показателем возможной ошибки при определенном уровне вероятности.

В качестве средней ошибки оценки принимается ее среднее квадратическое отклонение.

Тогда точечная оценка генеральной средней может быть представлена в виде интервала

где - выборочная средняя арифметическая.

При точечной оценке применяют несколько методов получения оценок по выборочным данным:

• 1. метод моментов, при котором моменты генеральной совокупности заменяются моментами выборочной совокупности;
• 2. метод наименьших квадратов;
• 3. метод максимального правдоподобия.

Во многих задачах требуется найти не только числовую оценку параметра генеральной совокупности, но и оценить ее точность и надежность. Особенно это важно для выборок относительно малого объема. Обобщением точечной оценки статистического параметра является его интервальная оценка - нахождение числового интервала, содержащего с определенной вероятностью оцениваемый параметр.

В связи с тем, что при определении генеральных характеристик по выборочным данным всегда присутствует некоторая ошибка, практичнее определить интервал с центром в найденной точечной оценке, внутри которого с некоторой заданной вероятностью находится истинное искомое значение оцениваемого параметра генеральной характеристики. Такой интервал называют доверительным.

Доверительный интервал - это числовой интервал, который с заданной вероятностью г накрывает оцениваемый параметр генеральной совокупности. Такую вероятность называют доверительной. Доверительная вероятность г - это вероятность, которую можно признать достаточной в рамках решаемой задачи для суждения о достоверности характеристик, полученных на основе выборочных наблюдений. Величину

вероятности допустить ошибку называют уровнем значимости .

Для выборочной (точечной) оценки И * (тета) параметра И генеральной совокупности с точностью (предельной ошибкой ) Д и доверительной вероятностью г доверительный интервал определяется равенством:

Доверительная вероятность г дает возможность установить доверительные границы случайного колебания изучаемого параметра И для данной выборки.

В качестве доверительной вероятности принимают зачастую следующие значения и соответствующие им уровни значимости

Таблица 1. - Наиболее употребительные доверительные вероятности и уровни значимости

Например, 5-процентный уровень значимости означает следующее: в 5-ти случаях из 100 существует риск совершить ошибку при выявлении характеристик генеральной совокупности по выборочным данным. Или, другими словами, в 95 случаях из 100 генеральная характеристика, выявленная на основе выборки будет лежать в пределах доверительного интервала.

Тема 7. Статистические оценки параметров распределения: точечные и интервальные оценки

Смысл статистических методов заключается в том, чтобы по выборке ограниченного объема, то есть по некоторой части генеральной совокупности, высказать обоснованное суждение о ее свойствах целиком.

Естественно, что замена исследования генеральной совокупно­сти исследованием выборки порождает ряд вопросов:

1. В какой степени выборка отражает свойства генеральной совокупности, т. е. в какой степени выборка репрезентативна по отношению к генеральной совокупности?

2. Какую информацию о значениях параметров генеральной совокупности могут дать параметры выборки?

3. Можно ли утверждать, что полученные выборочным путем статистические характеристики (средние величины, дисперсия или любые другие производные величины) равны тем характе­ристикам, которые могут быть получены из генеральной сово­купности.

Проверка показывает, что значения параметров, полученных для разных выборок из одной генеральной совокупности, обыч­но не совпадают. Рассчитанные выборочным путем числовые значения параметров выборок являются лишь результатом при­ближенного статистического оценивания значений этих парамет­ров в генеральной совокупности. Статистическое оценивание, в силу изменчивости наблюдаемых явлений, позволяет получать только их приближенные значения.

Примечание. Строго говоря, в статистике оценка - это правило вычисления оцениваемого параметра, а термин оценить, т. е. провести оценивание, означает указать приближенное значе­ние.

Различают оценки точечные и оценки интервальные .

Точечная оценка параметров распределения

Пусть x 1 , x 2 , …, x n – выборка объема n из генеральной совокупности с функцией распределения F (x ).

Числовые характеристики этой выборки называются выборочными (эмпирическими ) числовыми характеристиками.

Отметим, что выборочные числовые характеристики являются характеристиками данной выборки, но не являются характеристиками распределения генеральной совокупности. Однако эти характеристики можно использовать для оценок параметров генеральной совокупности.

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом.

Точечная оценка характеризуется свойствами: несмещенность, состоятельность и эффективность.

Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Точечная оценка называется состоятельной , если при неограниченном увеличении объема выборки (n ® ¥) она сходится по вероятности к истинному значению параметра, то есть стремится к истинному значению оцениваемого параметра генеральной совокупности.

Эффективной называют точечную оценку, которая (при заданном объеме выборки n ) имеет наименьшую возможную дисперсию, те есть гарантирует наименьшее отклонение выборочной оценки от такой же оценки генеральной совокупности..

В математической статистике показывается, что состоятельной, несмещенной оценкой генерального среднего значения а является выборочное средне:

где х i – варианта выборки, n i – частота варианты х i , – объем выборки.

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправления выборочная дисперсия

,

Более удобна формула  .

Оценка s 2 для генеральной дисперсии является также и состоятельной, но не является эффективной. Однако в случае нормального распределения она является «асимптотически эффективной», то есть при увеличении n отношение ее дисперсии к минимально возможной неограниченно приближается к единице.

Итак, если дана выборка из распределения F (x ) случайной величины Х с неизвестным математическим ожиданием а и дисперсией s 2 , то для вычисления значений этих параметров мы имеем право пользоваться следующими приближенными формулами:

Точечные оценки имеют тот недостаток, что при малом объеме выборки могут значительно отличаться от оцениваемых параметров. Поэтому, чтобы получить представление о близости между параметром и его оценкой, в математической статистике вводятся, так называемые, интервальные оценки.

Доверительный интервал

Если при статистической обработке результатов требуется найти не только точечную оценку неизвестного параметра θ, но и охарактеризовать точность этой оценки, то находится доверительный интервал.

Доверительный интервал – это интервал, в котором заранее заданной доверительной вероятностью находится неизвестный параметр генеральной совокупности.

Доверительная вероятность – это вероятность, с которой неизвестный параметр генеральной совокупности принадлежит доверительному интервалу.

Длина доверительного интервала характеризует точность интервального оценивания и зависит от объема выборки и доверительной вероятности. При увеличении объема выборки длина доверит. интервала уменьшается (точность увеличивается), а при стремлении доверительной вероятности к 1 длина доверит. интервала увеличивается (точность уменьшается) Наряду с доверительной вероятностью р часто на практике используют уровень значимости α = 1 - p.

Обычно принимают р = 0,95 или (реже) 0,99. Эти вероятности признаны достаточными для уверенного суждения о генеральных параметрах на основании известных выборочных показателей.

Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид: где S – СКО, - критическое значение распределения Стьюдента (Смотри ПРИЛОЖЕНИЕ 1 к Теме 7)